概率论与数理统计 Probability and Statistics

南方科技大学 计算机科学与工程系 11812804 董正



前言 Preface

本笔记是把我曾经手写的笔记敲成电子版


第一章 概率

1.2 样本空间

1.2.1 试验

1.2.2 样本空间 Ω

1.2.3 几种特殊事件

  1. 基本事件

    一个样本点构成的单点集 {ω}

  2. 必然事件

    每次试验都发生的事件

  3. 不可能事件

    Ω

  4. 事件域

    A={A|AΩ,A}

1.2.4 事件之间的关系及运算

1.2.4.1 事件之间的关系
  1. ABA 包含于 B

    A 发生必然导致 B 发生

    A=BABBA

  2. AB={ω|ωAωB}

    A 发生或 B 发生,称为 AB 的和事件

  3. AB={ω|ωAωB}

    AB 同时发生,称为 AB 的积事件,可记作 AB

    i=1nAi={ω|ωAi,i=1,2,,n} (n 可以是 )

  4. AB={ω|ωAωB}

    A 发生 B 不发生,称为 A,B 的差

    AB, 则称 AB 为真差

    AB 也记作 AB (存疑)

  5. AB=,则称 A,B 互斥(互不相容)

    A,B 不可同时发生

  6. AB=ΩAB=,则称 A,B 互为对立事件(逆事件)

    A=ΩB=B=Bc

1.2.4.2 运算律
  1. 交换律

    AB=BA

    AB=BA

  2. 结合律

    (AB)C=A(BC)

    (AB)C=A(BC)

  3. 分配律

    A(BC)=(AB)(AC)

    A(BC)=(AB)(AC)

    A(BC)=ABAC=ABC

  4. 摩根律

    AB=AB

    AB=AB

    P(AB)=1P(AB)=1P(AB)


1.3 概率测度

1.3.1 频率

1.3.2 概率

  1. AB

    • P(BA)=P(B)P(A)

      • P(B)P(A)

     

证明:

AB

B=A(BA)

互斥事件,根据有限可加性,P(B)=P(A)+P(BA)

P(BA)=P(B)P(A),P(B)P(A)

  1. 0P(A)1

  2. P(A)=1P(A)

  3. P(A)P(AB)

  4. 加法定律 (很重要)

    P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)

  5. 挖补原理

    P(A1A2An)=i=1nP(Ai)1ijnP(AiAj)+1ijknP(AiAjAk)+(1)n1P(A1A2An)

    规律:加奇减偶

例:已知空气中 PM 2.5 含量一般在 0120 μg/m3, SO2 含量一般在 00.304 ppm 之间,PM 2.5 含量在 100.5 μg/m3 或 SO2 含量在 0.205 ppm 以上,则认为空气有害。求空气有害的概率

几何概型

P(A)+P(B)P(AB)


1.4 概率计算

1.4.1 古典概型

  1. 古典概型的概念

    • 特征

      • Ω 只有有限个样本点,即 Ω={ω1,ω2,,ωn}
      • 每个样本点出现的可能性相等,即 P{ω1}=P{ω2}==P{ωn}=1n
      • 又称为等可能概型
    • 概率计算

      A={ωi1,ωi2,,ωik}

      P(A)=P{ωi1}+P{ωi2}++P{ωik}=kn

      P(A)=A

  2. 排列组合

    • 选排列

      Ank=n!(nk)!=n(n1)(nk+1)

    • 全排列

      Ann=n!

    • 组合

      Cnk=(nk)=AnkAkk=n!k!(nk)!=n(n1)(nk+1)k!

  3. 加法原理

    做一件事有 n 类方法,第 1 类有 m1 种方法,第 2 类有 m2 种方法...第 n 类有 mn 种方法

    则方法总数 N=i=1nmi

  4. 乘法原理

    做一件事有 n 个步骤,第 1 步有 m1 种方法,第 2 步有 m2 种方法...第 n 步有 mn 种方法

    则方法总数 N=i=1nmi

    • 推广

      n 个对象分成 r 类,第 i 类有 ni 个对象,i=1,2,,ri=1rni=n,那么分类方式有

      (nn1n2nr)=n!n1!n2!nr!=Cnn1Cnn1n2Cnn1n2n3Cnn1n2nr1nr

1.4.2 几何概型

则称上述试验为几何概型

1.4.3 习题

  1. 证明 P(AB)+P(AC)P(BC)P(A)

    证明:

    P(A)P(A(BC)),P(BC)P(ABC)

    P(A)+P(BC)P(A(BC))+P(ABC)

    由加法定律,P(A(BC))=P(ABAC)=P(AB)+P(AC)P(ABC)

    P(A)+P(BC)P(AB)+P(AC)P(ABC)+P(ABC)=P(AB)+P(AC)

    P(A)P(AB)+P(AC)P(BC)

  2. 证明 P(AB)+P(AC)+P(BC)P(A)+P(B)+P(C)1

    证明:

    即证 P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)1

    P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)

    即证 P(ABC)P(ABC)1

     

    P(ABC)1,P(ABC)1

    P(ABC)P(ABC)1

    原式得证

  3. n0n1 随机排列,求没有两个 1 连着的概率

    可以看成有 2n 个位置,只需要考虑 1 放在哪里,剩下的自然是 0

    C2nn 种放法

    接下来,用 0 把 1 隔开,需要 n1 个 0,还剩一个,考虑把它插到哪里

    1 0 1 0 1 0 ...

    这两个位置效果一样,都是 1001,所以我们就假设这个 0 只插到 1 的右边,这样有 n 种插法。还有一种是插在开头,所以一共 n+1

    P=n+1C2nn

  4. 袋子中有 n1 个黑球和 1 个白球,每次从口袋中随机摸出一个球,并放入一个黑球,求第 k 次摸球时摸到黑球的概率

    Ak={k},则 Ak={k}

    考虑 Ak 的情况:

    因为袋子中只有 1 个白球,所以前 k1 次摸到的都是黑球

    P(Ak)=(n1n)k11n=1n(11n)k1

    P(Ak)=1P(Ak)=11n(11n)k1

  5. n 颗骰子,求出现点数最大为 5 的概率

    A={5},B={5},C={4}

    CBA=BC

    P(A)=P(B)P(C)=(56)n(46)n=5n4n6n

  6. n 个人围一圆桌坐,求甲、乙两人相邻的概率

    假设甲先坐好,则乙只有两个位置可坐

    P=2n1


1.5 条件概率


1.6 独立性


第二章 随机变量

2.1 离散随机变量

2.1.1 概率质量函数 PMF

2.1.2 累积分布函数 CDF

2.1.3 离散随机变量的分布

  1. 单点分布(退化分布)

    随机变量 X 的 CDF 为 P{X=c}=1,称 X 服从单点分布

    记作 X=c(a.e.)X=a.e.c

  2. (0-1) 两点分布(伯努利分布)

    若随机变量 X 的频率函数 P{X=1}=p,P{x=0}=1p,则称 X 服从 (0-1) 两点分布

  3. 二项分布

    • 伯努利试验

      只产生两个结果 A,A 的试验

      n 重伯努利试验:将伯努利试验独立重复 n 次的试验

    • 公式

      X=n 重伯努利试验中 A 发生的次数

      P{X=k}=Cnkpk(1p)nk=b(k;n,p)

      X 服从参数为 (n,p) 的二项分布,Xb(n,p)

    • 最大值(中心项)

      m=(n+1)p 为正整数时,b(m;n,p)=b(m1;n,p) 为最大值

      m 是最可能出现的次数,不是正整数就取整

    • n=1 时退化为 (0-1) 两点分布

    • E(X)=np

      D(X)=np(1p)

  4. 几何分布

    X=k,前 k 次全部失败,直到第 k 次才成功

    P{X=k}=p(1p)k1

    记作 XGe(P)

    • 无记忆性

      P{X>m+n|X>m}=P{x>n}

  5. 负二项分布

    进行试验直到 r 次成功,用了 k

    P{X=k}=pCk1r1pr1(1p)kr=Ck1r1pr(1p)kr

    记作 XNb(r,p)

    • r=1 时退化为几何分布
  6. 超几何分布

    盒中有 n 个球,r 个黑球,nr 个白球,从盒中无重复抽取 m 个球,设 X 为抽到黑球的次数

    P{X=k}=CrkCnrmkCnm,k=0,1,2,,m

    先从 r 个黑球中选 k 个,再从 nr 个白球中选 mk

  7. 泊松分布

    • 泊松流

      随时间推移,在时间轴上源源不断出现的随机粒子流

      例:某商店某天的顾客

    • 泊松分布

      X 为区间 (0,t] 中出现的粒子数

      P{X=k}=λkk!eλ,k=0,1,2,

      λ>0 为参数

      记作 Xπ(λ)XP.(λ)

      常用 k=0 (一个顾客都没有): P{X=0}=eλ

    • 性质

      P{X=k}>0

      k=0P{X=k}=k=0λkk!eλ=eλeλ=1

    • 泊松分布与泊松流的关系

      Xπ(λt)

      P{X=k}=(λt)kk!eλt

      λ 称为泊松强度

    • 泊松定理

      λ>0 为常数,n 为正整数,limnnpn=λ,则 k=0,1,2,

      limnCnkpnk(1pn)nk=λkk!eλ

      n 很大 p 很小时,根据泊松定理

      Cnkpnk(1pn)nkλkk!eλ
  8. 多项分布:二项分布的推广

    进行 n 次独立试验,每次试验有 r 种可能的结果,概率为 p1,p2,,pr

    Nin 次试验出现第 i 种结果的总次数,i=1,2,,r,则 N1,N2,,Nr 的联合频率函数

    p(n1,n2,,nr)=n!n1!n2!nr!p1n1p2n2prnr
    • 例:抛硬币 10 次,每次有 38 概率正面,38 概率反面,14 概率立起来,求出现 4 次正面 3 次反面的概率

      解:

      n1 次正面,n2 次反面,n3 次立起来

      n1+n2+n3=10

      P(n1,n2,n3)=10!n1!n2!n3!(38)n1(38)n2(14)n3

      P(4,3,3)=10!4!3!3!(38)4(38)3(14)3

  9. 多维超几何分布

    口袋中有 N​ 只球,分为 r 类。第 i 种球有 Ni 只,N1+N2++Nr=N

    从中任取 n 只,记 Xi 为取出的 n 只球中第 i 种的个数,则 (X1,X2,,Xr) 的分布为

    P(X1=n1,X2=n2,,Xr=nr)=CN1n1CN2n2CNrnrCNn

2.2 连续随机变量

2.2.1 概率密度函数 PDF

2.2.2 连续随机变量的分布

  1. 均匀分布

    若 r.v. X 的密度函数为

    f(x)={1baa<x<b0

    则称 X 服从区间 (a,b) 上的均匀分布,记作 XU(a,b)

    • (c,c+L)(a,b),P{c<X<c+L}=cc+L1badx=Lba

      只和区间长度有关,和位置无关

  2. 指数分布

    X 的密度函数为

    f(x)={λeλxx>00x0

    则称 X 服从参数 λ>0 的指数分布,记作 XEXP(λ)

    λ: 失效率,1λ: 平均寿命

    • 分布函数

      F(x)=xf(t)dt={1eλxx>00x0
    • 无记忆性

      P{X>s+t|X>s}=P{X>t}

    • E(X)=1λ

      D(X)=1λ2

  3. 伽马分布

    X 的密度函数为

    f(x)={λrΓ(r)xr1eλxx>00x0

    其中 r>0,λ>0 为常数,则称 X 服从参数为 (r,λ)Γ 分布,记作 XΓ(r,λ)

    Γ(r)=0xr1exdx,r>0
    • Γ(1)=1

      Γ(12)=π

      Γ(n)=(n1)!

    • r: 形状参数

      λ: 尺度参数

    • Γ(1,λ)=EXP(λ)

  4. 正态分布

    • 定义

      X 的密度函数为

      f(x)=12πσe(xμ)22σ2,xR,σ>0

      则称 X 服从参数为 (μ,σ2) 的正态分布,记作 XN(μ,σ2)

    • 性质

      1. f(x) 关于 x=μ 对称
      2. f(x)μ 处取极大值 f(μ)=12πσ,左增右减
      3. f(x)x 轴为渐近线
    • 图像

      μ: 位置参数,μ 增大,图像右移

      σ: 刻度参数,σ 增大,图像变尖(高瘦)

    • 标准正态分布

      μ=0,σ2=1

      φ(x)=12πex22

      分布函数:

      Φ(x)=x12πet22dt
      • Φ(0)=12

      • 对称性:Φ(x)=1Φ(x)

      • 计算

        • x0:查表
        • x<0Φ(x)=1Φ(x)
    • 一般正态分布与标准正态分布的转换

      XN(μ,σ2),设 Z=xμσ,则 ZN(0,1)

      P{Xa}=P{Xμaμ}=P{xμσaμσ}=P{Zaμσ}=Φ(aμσ)

    • 3σ 原则

      P{μσ<X<μ+σ}=0.6826

      P{μ2σ<X<μ+2σ}=0.9544

      P{μ3σ<X<μ+3σ}=0.9974

  5. 贝塔分布

    f(u)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)ua1(1u)b1,0u1

    a=b=1 时为均匀分布

    p(x)=1B(a,b)xa1(1x)b1,0<x<1

    记作 XBe(a,b),a>0,b>0

    B(a,b)=01xa1(1x)b1dx 为贝塔函数

    • B(a,b)=B(b,a)
    • B(a,b)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)
    • Be(1,1)=U(0,1)

2.3 随机变量的函数

2.3.1 离散随机变量函数的频率函数

  1. 离散型+离散型

    设 r.v. X 的频率函数为

    XX1X2Xn
    pkp1p2pn

    Y=g(X) 的频率函数为

    Xg(X1)g(X2)g(Xn)
    pkp1p2pn

    相同合并

    • 例:X 的频率函数为

      X1012
      p0.20.30.10.4

      Y=(X1)2 的频率函数

      解:

      Y4​​101​​
      p0.20.30.10.4

      合并后:

      Y4​​10
      p0.2​​0.70.1
  2. 连续型+离散型

    例:设 r.v. XU(0,1),定义

    Y={00<X0.2510.25<X0.7520.75<X1

    Y 的频率函数

    解:

    P{Y=0}=P(0<X0.25)=00.25110dx=0.25

    P{Y=1}=P(0.25<X0.75)=0.250.75110dx=0.5

    P{Y=2}=P(0.75<X1)=0.751110dx=0.25

    因此 Y 的频率函数为

    Y012
    p0.250.50.25

2.3.2 连续型随机变量函数的分布


2.4 第二章习题

  1. Xp(x)​ 且 p(x)=p(x)F(x)X 的分布函数,则对任意实数 a>0,求 F(a)

    解:

    根据偶函数的性质,阴影部分面积相等

    F(a)=1F(a)

    F(0)=1F(0)F(0)=12

    F(a)=120ap(x)dx

  2. X 的分布函数

    F(x)={0x<0120x11exx1

    P(X=1)

    解:

    P(X=1)=P(X1)P(X<1)=F(1)F(10)​​

    =F(1)limΔx0F(1Δx)=11e12=121e

  3. 经验表明:预订餐厅座位而不来就餐的顾客的比例为 20%。现在餐厅有 50 个座位,但预订给了 52 个人,求顾客到来时餐厅没有空位的概率

    解:

    X 为 52 位顾客中不来的人数

    由题意,顾客鸽了的概率 p=0.2

    Xb(52,0.2)

    餐厅中没有空位 最多俩人鸽了

    P(X2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.852+C5210.8510.21+C5220.8500.22

  4. X​ 的概率密度函数 f(x) 满足 f(1+x)=f(1x)02f(x)dx=0.6,求 P(X<0)

    解:

    1. 作图

      P(X<0)=10.62=0.2

    2. 计算

      1=f(x)dx=0f(x)dx+02f(x)dx+2f(x)dx

      x=1+t

      原式 =0f(x)dx+0.6+1f(1+t)dt

      =0f(x)dx+0.6+1f(1t)dt

      u=1t

      原式 =0f(x)dx+0.6+0f(u)d(u)

      =20f(x)dx+0.6

      0f(x)dx=0.2P(X<0)=0.2

  5. YEXP(1)​​​,a>0​​ 为常数,求 P(Ya+1|Y>a)

    解:无记忆性

    P(Ya+1|Y>a)=1P(Y>a+1|Y>a)=1P(Y>1)=P(Y1)=F(1)=1e1

  6. XN(10,4),求 P(10<X<13),P(|X10|<2)

    解:

    P(10<X<13)=P(10102<X102<13102)=Φ(1.5)Φ(0)=0.99320.5=0.4932

    P(|X10|<2)=P(8<X<12)=P(8102<X102<12102)=Φ(1)Φ(1)=2Φ(1)1=0.6826

  7. 已知 XN(3,22)P(X>k)=P(Xk)k

    解:

    P(X>k)=P(Xk)P(X>k)+P(Xk)=1

    P(Xk)=12P(X32k32)=Φ(k32)=12

    k32=0k=3

  8. XN(μ,42),YN(μ,52),记 p1=P(Xμ4),p2=P(Yμ+5)

    A.μ,p1=p2B.μ,p1<p2C.μ,p1=p2D.μ,p1>p2

    解:A

    P(Xμ4)=P(Xμ41)=Φ(1)=1Φ(1)

    P(Yμ+5)=P(Yμ51)=1Φ(1)

    p1=p2

  9. 设随机变量 XN(μ1,σ12),YN(μ2,σ22)P(|Xμ1|<1)>P(|Yμ2|<1)

    则必有 A.σ1<σ2B.σ1>σ2C.μ1<μ2D.μ1>μ2

    解:A

    P(|Xμ1|<1)=P(1<Xμ1<1)=P(1σ1<Xμ1σ1<1σ1)=2Φ(1σ1)1

    同理 P(|Yμ2|)=2Φ(1σ2)1

    Φ(1σ1)>Φ(1σ2)

    Φ(x) 单增

    1σ1>1σ2σ1<σ2

  10. f1(x)​ 为标准正态分布的概率密度,f2(x)​ 为 [1,3]​​ 上均匀分布的概率密度

    f(x)={af1(x)x0bf2(x)x>0a,b>0​ 为概率密度函数,则 a,b 满足

    解:

    f1(x)=12πex22,xR

    f2(x)={141x30

    f(x)dx=10af1(x)dx+03bf2(x)dx=1

    12a+34b=12a+3b=4

  11. XpX(x)=1π(1+x2)​,求 Y=eX​ 的概率密度

    解:

    FY(y)=P(Yy)=P(eXy)=y>0P(Xlny)=FX(lny)=0lny1π(1+x2)dx

    fY(y)=FY(y)={1πy(1+ln2y)y>00y0

  12. XN(0,σ2),求 Y=X2​ 的密度函数

    解:

    Y=X2>0y0​​ 时 fY(y)=0​​​

    y>0​ 时 FY(y)=P(Yy)=P(X2y)=P(yXy)=yy12πσex22σ2dx

    fY(y)=FY(y)=12y12πσey2σ2(12y12πσey2σ2)=12πyσey2σ2,y>0

    fY(y)={12πyσey2σ2y>00y0


第三章 联合分布

3.1 联合累积分布函数


3.2 二维离散型随机变量

3.2.1 联合频率函数

3.2.2 边际分布


3.3 二维连续型随机变量

3.3.1 联合概率密度函数

3.3.2 二维连续变量的边际密度函数

3.3.3 二维正态分布

(X,Y) 的联合密度为

f(x,y)=12πσ1σ21ρ2e12(1ρ2)[(xμ1)2σ122ρ(xμ1)(yμ2)σ1σ2+(yμ2)2σ22]

则称 (X,Y) 服从参数为 (μ1,μ2,σ12,σ22,ρ) 的二维正态分布,记作 (X,Y)N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)

其中各参数 μ1,μ2R,σ1,σ2>0,|ρ|<1


3.4 独立随机变量


3.5 条件分布

3.5.1 条件频率函数

3.5.2 条件概率密度

3.5.3 例题

  1. 设随机变量 YN(0,1),求 X1={0|Y|11|Y|<1X2={0|Y|21|Y|<2​ 的联合分布列​

    解:

    P(X1=0,X2=0)=P(|Y|2)=P(Y2Y2)=1Φ(2)+1Φ(2)=0.0455

    P(X1=0,X2=1)=P(1|Y|<2)=P(2<Y11Y2)=Φ(1)Φ(2)+Φ(2)Φ(1)=2Φ(2)2Φ(1)=0.2719

    P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|2)=0

    P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1)=P(1<Y<1)=Φ(1)Φ(1)=2Φ(1)1=0.6826

    综上,(X1,X2) 的分布列为

    X1X201
    00.04550.2719
    100.6826
  2. (X,Y) 服从区域 D={(x,y)|x2+y21} 上的均匀分布,求 X 的边际密度 fX(x)

    解:

    由题意 F(x,y)={1πx2+y210

    x>1x<1fX(x)=0

    1x1fX(x)=1x21x21πdy=21x2π

    综上,X 的边际密度为

    fX(X)={21x2π1x10

  3. (X,Y) 的密度函数为 f(x,y)={ey0<x<y0,求 P(X+Y1)

    解:

    P(X+Y1)=012x1xeydydx=1+e12e12


3.6 联合分布随机变量函数

3.6.1 连续型 Z=X+Y

  1. 卷积公式

    X,Y 相互独立,则 Z=X+Y 的密度函数为

    fZ(z)=fX(zy)fY(y)dy

    fZ(z)=fX(x)fY(zx)dx

    =fXfY

    • 证明:

      FZ(z)=P(Zz)=P(X+YZ)=x+yzf(x,y)dxdy

      zyf(x,y)dxdy=x=uyzf(uy,y)dudy=z[f(uy,y)dy]du

      fZ(z)=FZ(z)=f(zy,y)dy=f(x,zx)dx

  2. 独立正态随机变量的和

    • XN(μ1,σ12),YN(μ2,σ22)X,Y 独立

      X+YN(μ1+μ2,σ12+σ22),XYN(μ1μ2,σ12+σ22)

    • X1,X2,,Xn 相互独立且 XiN(μi,σi2),i=1,2,n

      则对于不全为 0 的常数 a1,a2,,an

      a1X1+a2X2++anXnN(i=1naiμi,i=1nai2σi2)

3.6.2 离散型 Z=X+Y

  1. 卷积公式(离散)

    X,Y​ 独立,P(X=i)=pi,P(Y=j)=qj (i,j=1,2,)

    Z=X+Y​ 的频率为

    P(Z=k)=i=1k1P(X=i)P(Y=ki)=i=1k1P(X=ki)P(Y=i),k=1,2,

3.6.3 Z=XY 的分布

  1. Z=XY 的计算

    (X,Y)f(x,y),FZ(z)=P(XYz)=xyzf(x,y)dxdy

    FZ(z)=0yzf(x,y)dxdy

    u=xy,y=y,则 |J|=||yu01||=|y| (x=uy)

    FZ(z)=z(f(uy,y)|y|dy)du

    fZ(z)=f(zy,y)|y|dy

    X,Y 独立时 fZ(z)=fX(zy)fY(y)|y|dy

  2. 柯西分布

    f(x;x0,γ)=1πγ[1+(xx0γ)2],xR

3.6.4 两个随机变量变换的分布

  1. X1,X2 独立且服从标准正态分布,且 Y1=X1,Y2=X1+X2

    (Y1,Y2)N(0,0,1,2,12)

    • 推论 1:两个独立标准正态 r.v. 的线性变换服从二元正态分布
    • 推论 2:两个 r.v. 的联合分布是二元正态分布,则它们的非奇异线性变换仍服从二元正态分布

3.6.5 随机变量的其他函数

变量变换法:

已知 (X,Y) 的分布,(U,V)(X,Y) 的函数 U=g1(X,Y),V=g2(X,Y),求 (U,V)​ 的分布:

{u=g1(x,y)v=g2(x,y) 存在反函数 {x=x(u,v)y=y(u,v)

(U,V) 的联合密度为 pUV(u,v)=pXY[x(u,v),y(u,v)]|J|

其中 J=|xuxvyuyv|

解题步骤:

  1. 设变量
  2. X=,Y=
  3. |J|
  4. 代入得 f(u,v)=fX()fY()|J|
  5. 求边际密度得 fU(u)

3.7 极值和顺序统计量

3.7.1 极值 max(X,Y)min(X,Y) 的分布

  1. XFX(x),YFY(y)​ 且 X,Y​ 独立

    Fmax(z)=P(max(X,Y)z)=P(Xz,Yz)=FX(z)FY(z)

    Fmin(z)=P(min(X,Y)z)=1P(min(X,Y)>z)=1P(X>z,Y>z)=1[1FX(z)][1FY(z)]

  2. XiFXi(x),i=1,2,,n​ 且 X1,X2,,Xn​ 相互独立

    Fmax(z)=P(max(X1,X2,,Xn)z)=i=1nFXi(z)

    Fmin(z)=P(min(X1,X2,,Xn)z)=1i=1n[1FXi(z)]

    • X1,X2,,Xn 独立同分布时

      Fmax(z)=[F(z)]n

      Fmin(z)=1[1F(z)]n

      fmax(z)=n[F(z)]n1f(z)

      fmin(z)=n[1F(z)]n1f(z)

  3. X,Y​ 独立且概率密度均为 f(x)

    fmax(z)=Fmax(z)=2f(z)F(z)=2f(z)zf(t)dt

    fmin(z)=Fmin(z)=2f(z)[1F(z)]=2f(z)[1zf(t)dt]

3.7.2 顺序统计量 X(k) 的分布


3.8 第三章习题

  1. 已知 (X,Y)​ 的联合密度为 f(x,y)={exyx>0,y>00,问 X,Y 是否独立

    解:看 f(x,y) 是不是等于 fX(x)fY(y)

    求边际密度:

    fX(x)=f(x,y)dy=0exydy=ex,x>0

    fY(y)=f(x,y)dx=0exydx=ey,y>0

    f(x,y)=fX(x)fY(y)X,Y 独立

  2. (X,Y) 的联合密度为 f(x,y),求证 X,Y 独立的充要条件为 f(x,y) 可分离变量,即 f(x,y)=g(x)h(y)

    证明:

    充分性:X,Y 独立 f(x,y)=fX(x)fY(y)

    必要性:令 a=g(x)dx,b=h(y)dy

    ab=g(x)h(y)dxdy=f(x,y)dxdy=1

    fX(x)=f(x,y)dy=g(x)h(y)dy=bg(x)

    fY(y)=f(x,y)dx=h(y)g(x)dx=ah(y)

    fX(x)fY(y)=abg(x)h(y)=f(x,y)

    X,Y 独立

  3. (X,Y) 服从圆域 G:x2+y21 上的均匀分布,求 fX|Y(x|y)

    解:

    f(x,y)={1πx2+y210

    fY(y)=1y21y21πdx={21y2π1y10

    fX|Y(x|y)={f(x,y)fY(y)={121y21y2x1y20x1y10


第四章 随机变量的数字特征